Distribusi Binomial — Sobat Exsight masih ingat gak nih, jika sebelumnya kita telah membahas tentang distribusi Bernoulli, kali ini kita akan membahas lebih lanjut pengembangan dari Distribusi Bernoulli yaitu Distribusi Binomial. Bayangkan Anda sedang melempar koin, tidak hanya sekali, tetapi beberapa kali, dan ingin mengetahui peluang munculnya sisi tertentu dalam sejumlah lemparan tersebut. Inilah saat distribusi binomial masuk ke dalam permainan.
Distribusi binomial merupakan pengembangan dari distribusi Bernoulli. Distribusi ini menjawab pertanyaan yang lebih kompleks, seperti misalnya: Berapa peluang sukses terjadi sebanyak k kali dalam n percobaan yang masing-masing memiliki peluang sukses p? Konsep ini tidak hanya menarik untuk dipelajari, tetapi juga sangat aplikatif. Secara lebih detail akan dibahas lebih lanjut terkait distribusi Binomial. Tanpa berlama- lama lagi yuk yuk simak artikel ini dengan seksama yaa.
Konsep Dasar
Distribusi Binomial adalah salah satu distribusi probabilitas diskret yang digunakan untuk memodelkan jumlah keberhasilan dalam sejumlah percobaan yang identik dan independen, di mana setiap percobaan hanya memiliki dua kemungkinan hasil: sukses atau gagal. Distribusi Binomial diperkenalkan dengan asumsi bahwa peluang sukses (p) pada setiap percobaan tetap konstan. Secara matematis, distribusi Binomial dinyatakan dengan rumus sebagai berikut.
P\left ( X=x \right )=\begin{pmatrix}
n \\
x
\end{pmatrix}p ^{x}\left ( 1-p \right )^{n-x}\\dimana
- P(X=x) adalah peluang terjadinya k sukses
- n adalah jumlah percobaan
- p adalah peluang sukses pada setiap percobaan
- k adalah jumlah keberhasilan
\; \begin{pmatrix}
n \\
x
\end{pmatrix}adalah\; kombinasi\; atau\; cara\; memilih\; k\; dan\; nDistribusi Binomial VS Distribusi Bernoulli
Distribusi Binomial merupakan pengembangan lebih lanjut dari distribusi Bernoulli. Adapun perbedaan mendasar dari keduanya yaitu:
*DISTRIBUSI BERNOULLI
Distribusi Bernoulli hanya melibatkan satu percobaan tunggal dengan dua hasil (sukses atau gagal).
*DISTRIBUSI BINOMIAL
Distribusi Binomial melibatkan sejumlah n percobaan Bernoulli yang independen.
Nilai Harapan (Ekspetasi) Distribusi Binomial
Nilai harapan atau ekspektasi adalah rata-rata teoretis dari hasil suatu percobaan acak jika percobaan tersebut dilakukan berkali-kali dalam kondisi yang sama. Adapun penjabaran rumus nilai harapan (ekspetasi) dari distribusi Binomial adalah sebagai berikut.
\begin{matrix}
E\left ( X \right )=\sum_{x=0}^{n}x.f\left ( x \right ) \\
E\left ( X \right )=\sum_{x=0}^{n}x.\frac{n!}{x!\left ( n-x \right )!} p^{x}\left ( 1-p \right )^{n-x}\\
E\left ( X \right )=\sum_{x=0}^{n}x.\frac{n\left ( n-1 \right )!}{x.\left ( x-1 \right )!\left ( n-x \right )!}p.p^{x-1}.\left ( 1-p \right )^{n-x} \\
E\left ( X \right )=np.\sum_{x=0}^{n}\frac{(n-1)!}{\left ( x-1 \right )!\left ( n-x \right )!}.p^{x-1}.\left ( 1-p \right )^{n-x}\\
E\left ( X \right )=np
\end{matrix}Varians Distribusi Binomial
Varians adalah ukuran seberapa jauh hasil-hasil percobaan menyebar dari nilai rata-rata (ekspektasi). Varians menunjukkan tingkat ketidakpastian atau keragaman data. Adapun penjabaran rumus varians dari distribusi ini adalah sebagai berikut.
\begin{matrix}
Var\left ( X \right )=E\left [ \left ( X-E\left ( X \right ) \right )^{2} \right ] \\
Var\left ( X \right )=E\left [ X^{2}-2.X.E\left ( X \right ) +\left ( E\left ( X \right ) \right )^{2}\right ]\\
Var\left ( X \right )=E\left ( X \right )^{2}-2.E\left ( X \right )E\left ( X \right ) +\left ( E\left ( X \right ) \right )^{2}\\
Var\left ( X \right )=E\left ( X \right )^{2}-\left (E\left ( X \right ) \right )^{2}
\end{matrix} \begin{matrix}
dalam\; hal\; ini \\
E\left ( X^{2} \right )=E\left ( X^{2} \right )-E\left ( X \right )+E\left ( X \right ) \\
E\left ( X^{2} \right )=E\left ( X^{2}-X \right )+E\left ( X \right ) \\
E\left ( X^{2} \right )=E\left ( X\left ( X-1 \right ) \right )+E\left ( X \right )
\end{matrix}\begin{matrix}
dimana\\
E\left ( X\left ( X-1 \right ) \right )=\sum_{x=0}^{n} x\left ( x-1 \right )f\left ( x \right )\\
E\left ( X\left ( X-1 \right ) \right )=\sum_{x=0}^{n} x\left ( x-1 \right )\frac{n!}{x!\left ( n-x \right )!}p^{x}\left ( 1-p \right )^{n-x}\\
E\left ( X\left ( X-1 \right ) \right )=\sum_{x=0}^{n}x\left ( x-1 \right )\frac{n\left ( n-1 \right )\left ( n-2 \right )!}{x\left ( x-1 \right )\left ( x-2 \right )!\left ( n-x \right )!} p^{2}p^{x-2}\left ( 1-p \right )^{n-x}\\
E\left ( X\left ( X-1 \right ) \right )=n\left ( n-1 \right )p^{2}\sum_{x=0}^{n}\frac{\left ( n-2 \right )!}{\left ( x-2 \right )!\left ( n-x \right )!}p^{x-2}\left ( 1-p \right )^{n-x} \\
E\left ( X\left ( X-1 \right ) \right )=n^{2}p^{2}-np^{2}
\end{matrix}\begin{matrix}
Maka \\
E\left ( X^{2} \right )=E\left ( X\left ( X-1 \right ) \right )+E\left ( X \right )\\
E\left ( X^{2} \right )=n^{2}p^{2}-np^{2}+np
\end{matrix}sehingga didapatkan varians untuk distribusi binomial adalah
\begin{matrix}
Var\left ( X \right )=E\left ( X^{2} \right )-\left ( E\left ( X \right ) \right )^{2} \\
Var\left ( X \right )=n^{2}p^{2}-np^{2}+np-n^{2}p^2 \\
Var\left ( X \right )=np-np^{2} \\
Var\left ( X \right )=np\left ( 1-p \right )\frac{}{}\\
Var\left ( X \right )=npq
\end{matrix}Kelebihan dan Kelemahan
Dalam penerapannya di bidang statistik, distribusi binomial memiliki beberapa kelebihan dan kelemahan diantaranya sebagai berikut.
Kelebihan
- Kesederhanaan Konsep dan Implementasi
Distribusi binomial mudah dipahami karena hanya melibatkan dua hasil (sukses atau gagal). Hal ini membuatnya cocok untuk berbagai aplikasi statistik sederhana. - Relevan dalam Berbagai Situasi Nyata
Distribusi ini digunakan dalam banyak kasus nyata seperti survei, percobaan klinis, atau penilaian risiko, sehingga relevan di berbagai bidang seperti sains, bisnis, dan pendidikan. - Formula yang Jelas dan Fleksibel
Rumus distribusi binomial memberikan cara yang mudah untuk menghitung probabilitas berdasarkan jumlah percobaan (n), peluang sukses (p), dan jumlah keberhasilan (k). - Kemampuan Menyediakan Nilai Harapan dan Varians
Distribusi binomial memberikan cara langsung untuk menghitung nilai harapan (E(X)=np) dan varians Var(X)=np(1−p), yang penting dalam analisis statistik. - Mendukung Pemodelan Diskrit
Distribusi ini sangat baik untuk memodelkan fenomena diskret, terutama yang melibatkan data biner (ya/tidak, sukses/gagal).
Kelemahan
- Asumsi yang Ketat
Distribusi binomial mengasumsikan bahwa probabilitas sukses tetap konstan dan percobaan bersifat independen. Dalam situasi nyata, asumsi ini sering sulit terpenuhi. - Terbatas pada Dua Hasil
Distribusi binomial mengasumsikan bahwa probabilitas sukses tetap konstan dan percobaan bersifat independen. Dalam situasi nyata, asumsi ini sering sulit terpenuhi. - Kurang Efektif untuk Data Skala Besar
Dalam situasi dengan jumlah percobaan (n) yang sangat besar, perhitungan dengan distribusi binomial menjadi kurang praktis dan sering kali diaproksimasi dengan distribusi normal. - Tidak Cocok untuk Situasi Dependen
Jika hasil antar percobaan saling memengaruhi (tidak independen), distribusi binomial tidak dapat digunakan, sehingga memerlukan pendekatan statistik yang berbeda. - Keterbatasan pada Model Kontinyu
Distribusi binomial hanya memodelkan data diskret. Jika data bersifat kontinu, distribusi ini tidak relevan.
Contoh Penerapan Distribusi Binomial
Distribusi Binomial seringkali digunakan dalam kehidupan sehari-hari, berikut adalah contoh penerapannya.
A. Analisis Efektivitas Promosi Produk
Sebuah perusahaan mengirimkan email promosi ke 100 pelanggan. Berdasarkan data sebelumnya, peluang seorang pelanggan membuka email adalah 20%. Dengan menggunakan distribusi ini, perusahaan dapat menghitung probabilitas bahwa 25 pelanggan atau lebih akan membuka email tersebut.
B. Uji Produk di Pabrik
Sebuah pabrik mengetahui bahwa peluang sebuah produk mengalami cacat adalah 2%. Dari 100 produk yang diproduksi, distribusi ini dapat digunakan untuk menghitung probabilitas bahwa ada 3 atau lebih produk yang cacat.
C. Mengukur Tingkat Kepuasan Pelanggan
Sebuah restoran mengetahui bahwa peluang pelanggan merasa puas dengan layanan mereka adalah 80%. Jika ada 50 pelanggan yang disurvei, distribusi binomial dapat digunakan untuk menghitung probabilitas bahwa 40 pelanggan atau lebih merasa puas.
D. Menentukan Peluang Lulus Ujian
Dalam ujian dengan 20 soal pilihan ganda, seorang siswa menebak jawabannya secara acak dengan peluang menjawab benar adalah 25% untuk setiap soal. Distribusi binomial dapat digunakan untuk menghitung peluang bahwa siswa tersebut menjawab benar tepat 10 soal.
E. Prediksi Cuaca
Seorang petani mengetahui bahwa peluang hujan setiap hari selama musim tanam adalah 60%. Jika musim tanam berlangsung selama 10 hari, distribusi ini dapat membantu menghitung peluang bahwa hujan akan turun pada 7 dari 10 hari tersebut.
Contoh Soal dengan Menerapkan Distribusi Binomial
Untuk lebih meningkatkan pemahaman sobat Exsight tentang Distribusi Binomial, sekarang kita akan mencoba menyelesaikan suatu case study yang melibatkan distribusi ini sebagai berikut.
Sebuah perusahaan e-commerce menjalankan kampanye iklan melalui email untuk mempromosikan produk barunya. Berdasarkan data historis, peluang seorang pelanggan membuka email promosi adalah 30%. Kampanye ini dikirimkan kepada 10 pelanggan. Pertanyaannya adalah:
- Berapa probabilitas bahwa tepat 4 pelanggan membuka email tersebut?
- Berapa probabilitas bahwa paling sedikit 3 pelanggan membuka email tersebut?
- Berapa nilai harapan (mean) dan varians dari jumlah pelanggan yang membuka email?
Penyelesaian dan Pembahasan
Diketahui
* Peluang sukses (membuka email) yaitu p = 30% = 0,3
* Peluang gagal (tidak membuka email) yaitu q = 1 – p = 0,7
* Jumlah percobaan yaitu n = 10
Jawaban Nomor 1
Untuk menyelesaikan soal nomor 1, dapat diselesaikan dengan substitusi nilai pada rumus Probability Density Function (PDF) distribusi binomial dengan nilai x = 4.
\: P\left ( X=4 \right )=\begin{pmatrix}
10 \\ 4
\end{pmatrix}. \left ( 0.3 \right )^{4}.\left ( 0.7 \right )^{6}\begin{matrix}
Lalu\; kita\; hitung\; kombinasinya \\
\begin{pmatrix}
10 \\4
\end{pmatrix}=\frac{10!}{4!\left ( 10-4 \right )!}=\frac{10.9.8.7}{4.3.2.1}=210
\end{matrix}\begin{matrix}
Maka\; didapatkan \\
P\left ( X=4 \right )=210.\left ( 0,3 \right )^{4}.\left ( 0,7 \right )^{6}\\
P\left ( X=4 \right )=210.\: 0,0081.\: 0,117649=\: 0,2001
\end{matrix}Sehingga didapatkan hasil bahwa Probabilitas bahwa tepat 4 pelanggan membuka email adalah 0,2001 atau 20,01%.
Jawaban Nomor 2
Probabilitas P(X≥3) dihitung dengan menjumlahkan probabilitas P(X=3)+P(X=4)+⋯+P(X=10). Atau dapat pula dihitung untuk persamaannya yaitu sebagai berikut.
\begin{matrix}
P\left ( X\geq 3 \right )=1-P\left ( X<3 \right ) \\
P\left ( X<3 \right )\\
dimana\\
P\left ( X<3 \right )=P\left ( X=0 \right )+P\left ( X=1 \right )+P\left ( X=2 \right )
\end{matrix}\begin{matrix}
P\left ( X=0 \right )=\begin{pmatrix}
10\\0
\end{pmatrix}.\left ( 0,3 \right )^{0}.\left ( 0,7 \right )^{10}=1.\; 1.\; 0,028247 =0,028247\\
P\left ( X=1 \right )=\begin{pmatrix}
10\\1
\end{pmatrix}.\: \left ( 0,3 \right )^{1}.\left ( 0,7 \right )^{9}=10.\; 0,3.\; 0,040353=0,1211\\
P\left ( X=2 \right )=\begin{pmatrix}
10\\2
\end{pmatrix}.\left ( 0,3 \right )^{2}.\left ( 0,7 \right )^{8}=45.\; 0,09.\; 0,057648=0,2335
\end{matrix}\begin{matrix}
Maka \\
P\left ( X<3 \right )=0,0282 +0,1211 + 0,2335 = 0,3828 \\
P\left ( X\geq 3 \right )=1-0,3828 = 0,6172
\end{matrix}Maka didapatkan hasil bahwa Probabilitas bahwa paling sedikit 3 pelanggan membuka email adalah 0,6172 atau 61,72%.
Jawaban Nomor 3
nilai harapan (mean) dan varians dari distribusi binomial dapat dihitung sebagai berikut.
\begin{matrix}
E\left ( X \right )=10.\; 0,3=3 \\
Var\left ( X \right )=10.\; 0,3.\: 0,7=2,1
\end{matrix}Nilai harapan adalah 3 pelanggan, dan varians adalah 2,1 atau 2 pelanggan.
Referensi
Finally, sampai sudah nih kita di penghujung artikel, sekian dulu ya penjelasan terkait Distribusi Binomial. Apabila masih ada yang dibingungkan, bisa langsung saja ramaikan kolom komentar atau hubungi admin melalui tombol bantuan di kanan bawah. Stay tuned di website https://exsight.id/blog/ agar tidak ketinggalan artikel-artikel menarik lainnya. Bye bye and see you!
