Distribusi gamma adalah salah satu distribusi probabilitas yang sering digunakan dalam analisis data statistik, khususnya dalam pemodelan waktu tunggu, kejadian yang berulang, atau data yang berbentuk kontinu dengan nilai non-negatif. Distribusi ini memiliki fleksibilitas tinggi, memungkinkan penggunanya untuk menangkap pola-pola data dengan variabilitas dan asimetri tertentu yang tidak bisa diakomodasi oleh distribusi lain seperti normal atau eksponensial.
Dalam dunia nyata, distribusi gamma digunakan di berbagai bidang, seperti di bidang aktuaria, keuangan, teknik, dan ilmu kesehatan. Misalnya, dalam aktuaria, distribusi gamma digunakan untuk memodelkan klaim asuransi, sementara di bidang kesehatan, distribusi Gamma membantu mempelajari waktu bertahan hidup pasien dalam penelitian survival.
Konsep Dasar
Distribusi gamma merupakan fungsi distribusi kontinu yang mempunyai dua parameter bernilai positif, yaitu α dan β. Distribusi gamma terjadi pada data yang bernilai positif, seperti data waktu antar kerusakan mesin, data meteorologi seperti curah hujan harian, data klaim asuransi, data biologi, dan data lainnya yang bernilai positif. Dalam hal ini, fungsi densitas dari distribusi Gamma adalah sebagai berikut.
f\left ( y;\alpha ,\beta \right )=\frac{1}{\Gamma \left ( \alpha \right )\beta ^{\alpha }}y^{\alpha -1}e^{-\frac{y}{\beta }};\, \alpha ,\, \beta >0;\, 0<y<\infty dengan Г(𝛼) merupakan fungsi gamma sebagai berikut
\Gamma \left ( \alpha \right )=\left ( \alpha -1 \right )!=\left ( \alpha -1 \right )\left ( \alpha -2 \right )\cdots \left ( 2 \right )\left ( 1 \right )
Pada fungsi densitas distribusi gamma, parameter 𝛼 dikenal sebagai parameter bentuk. Parameter tersebut mempengaruhi bentuk kurva fungsi densitas distribusi gamma; nilai 𝛼 yang berbeda akan menghasilkan bentuk kurva yang berbeda. Sementara parameter β merupakan parameter skala karena perkalian antara variabel random yang berdistribusi gamma dengan konstanta positif menghasilkan variabel random yang juga berdistribusi gamma dengan nilai 𝛼 yang sama namun dengan β yang berbeda
Kurva fungsi densitas distribusi gamma dengan parameter bentuk α dan parameter skala β yang berbeda-beda ditunjukkan oleh gambar sebagai berikut.
dan Skala (β) yang Berbeda
Gambar 1 di atas menunjukkan beberapa grafik fungsi distribusi probabilitas (probability density function atau PDF) dari Distribusi Gamma dengan berbagai kombinasi parameter α (parameter bentuk) dan β (parameter skala). Berikut penjelasannya secara sederhana:
- Parameter α (shape)
Parameter ini menentukan bentuk dari distribusi.
– Jika α kecil, grafik cenderung berbentuk puncak tajam di dekat nol.
– Jika α besar, grafik menjadi lebih rata dan menyebar ke nilai yang lebih besar. - Parameter β (scale)
Parameter ini memengaruhi skala atau penyebaran data.
– Jika β kecil, distribusi lebih rapat di sekitar nilai kecil.
– Jika β besar, distribusi lebih menyebar ke nilai yang lebih besar.
Nilai harapan μ dan varians dari distribusi gamma dengan parameter α dan β adalah sebagai berikut.
Nilai Harapan (Ekspektasi) Distribusi Gamma
Nilai Harapan (Ekspektasi) Distribusi Gamma didefinisikan sebagai rata-rata teoretis dari variabel acak yang mengikuti distribusi Gamma. Ekspektasi ini menggambarkan lokasi pusat dari distribusi probabilitas tersebut. Adapun penjabaran penentuan nilai harapan (ekspektasi) distribusi Gamma adalah sebagai berikut.
\mu =E\left ( Y \right )=\int_{0}^{\infty }y.f\left ( y;\alpha ,\beta \right )dySelanjutnya substitusikan fungsi densitas ke dalam integral f(y;α,β)
\mu =\int_{0}^{\infty }y.\frac{1}{\Gamma \left ( \alpha \right )\beta ^{\alpha }}y^{\alpha -1}e^{-y/\beta }dyGabungkan y dengan yα-1
\mu =\frac{1}{\Gamma \left ( \alpha \right )\theta }\int_{0}^{\infty }y^{\alpha }e^{-y/\beta }dyUbah bentuk yα agar sesuai dengan definisi fungsi Gamma
\mu =\frac{\beta .\Gamma \left ( \alpha +1 \right )}{\Gamma \left ( \alpha \right )}Karena\,\, \Gamma \left ( \alpha +1 \right )=\alpha .\Gamma (\alpha)
maka didapatkan nilai harapan (ekspektasi) distribusi gamma adalah sebagai berikut.
\begin{matrix}
\mu =E\left ( Y \right )=\alpha \beta \\
\end{matrix}\begin{matrix}
\mu =E\left ( Y \right )=\alpha \beta \\
\end{matrix}Karena α dan θ bernilai positif, maka nilai 𝜇 juga harus bernilai positif. Sedangkan nilai varians bergantung pada nilai 𝜇.
Varians Distribusi Gamma
Varians adalah ukuran seberapa jauh hasil-hasil percobaan menyebar dari nilai rata-rata (ekspektasi). Varians menunjukkan tingkat ketidakpastian atau keragaman data. Penjabaran rumus untuk mendapatkan varians dari distribusi gamma adalah sebagai berikut.
Var\left ( \sigma ^{2} \right )=Var\left ( Y \right )=E\left ( Y^{2} \right )-\left ( E\left ( Y \right ) \right )^{2}dimana dari rumus di atas dapat dijabarkan menjadi
E\left ( Y^{2} \right )=\int_{0}^{\infty }y^{2}.f\left ( y;\alpha ,\beta \right )dySelanjutnya kita lakukan substitusi untuk f(y;α,β)
E\left ( Y^{2} \right )=\frac{1}{\Gamma \left ( \alpha \right )\beta ^{\alpha }}\int_{0}^{\infty }y^{\alpha +1}e^{-y/\beta }dySelanjutnya gunakan sifat fungsi Gamma
E\left ( Y^{2} \right )=\frac{\beta ^{2}.\Gamma \left ( \alpha +2 \right )}{\Gamma \left ( \alpha \right )}Karena\; \Gamma \left ( \alpha +2 \right )=\left ( \alpha +1 \right ).\alpha .\Gamma \left ( \alpha \right ),\: maka
E\left ( Y^{2} \right )=\left ( \alpha +1 \right ).\alpha .\beta ^{2}Selanjutnya dapat kita tentukan varians darii distribusi Gamma yaitu sebagai berikut.
Var\left ( Y \right )=E\left ( Y^{2} \right )-\left ( E\left ( Y \right ) \right )^{2}Substitusi E(Y2) dan E(Y) maka
Var(Y)=\left ( \alpha +1 \right ).\alpha .\beta ^{2}-\left ( \alpha .\beta ^{2} \right )sehingga\: didapatkan\: \: Var\left ( Y \right )=\alpha \beta ^{2}Kelebihan dan Kelemahan
Terdapat berbagai kelebihan dan kelemahan dalam distribusi Gamma di antaranya adalah sebagai berikut.
Kelebihan
- Fleksibilitas Bentuk
Distribusi gamma memiliki parameter bentuk (α) dan skala (β) yang memungkinkan distribusi ini untuk memiliki berbagai macam bentuk kurva, dari yang mirip dengan distribusi eksponensial hingga yang lebih mendekati distribusi normal. Hal ini membuat distribusi gamma fleksibel dalam memodelkan data yang beragam. - Kemampuan Memodelkan Data Positif
Distribusi gamma sangat cocok untuk memodelkan data kontinu yang hanya memiliki nilai positif, seperti waktu antar kejadian dan durasi suatu proses. - Hubungan dengan Distribusi Lain
Distribusi gamma mencakup distribusi eksponensial (k=1) dan distribusi chi-squared (ketika β=2), sehingga penggunaannya dapat diperluas ke berbagai situasi statistik dan probabilitas. - Penerapan Distribusi Cukup Luas
Distribusi Gamma sering digunakan dalam analisis survival, keandalan sistem, hidrologi, ekonomi, dan berbagai bidang lainnya yang memerlukan pemodelan data asimetris.
Kelemahan
- Estimasi Parameter Agak Rumit
Estimasi parameter distribusi gamma dapat menjadi rumit, terutama jika menggunakan metode estimasi numerik seperti maksimum likelihood. Ini memerlukan alat komputasi yang memadai dan pemahaman statistik yang baik. - Asumsi Spesifik
Distribusi gamma mengasumsikan bahwa data yang dimodelkan berasal dari proses yang dapat diwakili oleh parameter tertentu. Jika data nyata tidak sesuai dengan asumsi ini, hasil analisis dapat menjadi bias atau tidak akurat. - Keterbatasan dalam Data Skewness Ekstrim
Meskipun distribusi gamma dapat menangani data yang asimetris, distribusi ini mungkin kurang cocok untuk data dengan skewness yang sangat ekstrem, di mana pendekatan lain mungkin lebih efisien. - Tidak Simetris
Karena distribusi gamma tidak simetris secara alami, pemodelan data yang simetris atau mendekati simetris memerlukan distribusi lain, seperti distribusi normal. Hal ini dapat menjadi kelemahan jika distribusi simetris dibutuhkan.
Contoh Penggunaan Distribusi Gamma
Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali distribusi Gamma diterapkan dalam berbagai bidang, di antaranya adalah sebagai berikut.
A. Bidang Biostatistika dan Epidemiologi
Distribusi gamma digunakan untuk memodelkan waktu kejadian (time-to-event), misalnya:
*Durasi Penyakit
Distribusi gamma sering digunakan untuk memprediksi durasi waktu pasien pulih dari suatu penyakit atau lama tinggal di rumah sakit.
*Waktu antara kejadian epidemi
Dalam model penyebaran penyakit, distribusi gamma dapat memodelkan waktu antara dua wabah.
B. Bidang Ekonomi dan Keuangan
*Pemodelan Risiko Asuransi
Distribusi gamma digunakan untuk memodelkan jumlah klaim asuransi selama periode tertentu, terutama untuk data dengan variabilitas tinggi.
*Perencanaan Kas
Dalam manajemen keuangan, distribusi gamma membantu memprediksi pola pengeluaran atau pendapatan.
*Model Distribusi Pendapatan
Distribusi gamma sering digunakan untuk menganalisis distribusi pendapatan yang asimetris.
C. Bidang Aktuaria
*Analisis Klaim
Dalam bidang aktuaria, distribusi gamma sering digunakan untuk memodelkan jumlah klaim per periode atau pola klaim dalam suatu populasi.
*Prediksi Mortalitas
Distribusi gamma digunakan dalam beberapa model untuk memprediksi pola mortalitas pada populasi tertentu.
D. Pemodelan Risiko Cuaca dalam Pertanian
Distribusi Gamma digunakan untuk memodelkan risiko cuaca, seperti lamanya musim kering atau curah hujan selama masa tanam. Pemodelan ini dapat digunakan membantu petani atau perusahaan asuransi cuaca dalam mengelola risiko. Contoh: Sebuah perusahaan asuransi cuaca menggunakan distribusi Gamma untuk menentukan premi berdasarkan analisis historis musim kering di wilayah tertentu.
Pengembangan Distribusi Gamma dalam Pemodelan Statistik
Distribusi Gamma sering digunakan sebagai dasar untuk membangun model statistik yang lebih kompleks dalam berbagai aplikasi. Berikut adalah beberapa contoh pengembangannya:
A. MODEL GAMMA GENERALIZED MODEL
Distribusi Gamma digunakan sebagai bagian dari Generalized Linear Models (GLM) dengan fungsi link log. Model ini sangat cocok untuk memodelkan data dengan variabel dependen berupa nilai positif yang memiliki varians tidak konstan, seperti data biaya, durasi waktu, atau tingkat kerugian.
B. PENGEMBANGAN DALAM ANALISIS SURVIVAL
Distribusi Gamma digunakan dalam analisis survival untuk memodelkan distribusi waktu hingga kejadian tertentu (time-to-event). Sebagai pengganti distribusi eksponensial yang mengasumsikan hazard rate konstan, distribusi Gamma dapat menangani hazard rate yang berubah seiring waktu.
C. BAYESIAN GAMMA MODEL
Distribusi Gamma sering digunakan dalam statistik Bayesian sebagai prior untuk parameter yang bernilai positif, seperti varians atau tingkat intensitas. Misalnya, dalam distribusi eksponensial atau Poisson, parameter laju (λ) sering dimodelkan dengan prior Gamma.
Contoh Soal dengan Menerapkan Distribusi Gamma
Sebuah perusahaan memiliki perangkat mesin yang masa pakainya mengikuti distribusi Gamma dengan parameter α=3 (parameter bentuk) dan β =2 (parameter skala). Maka selanjutnya pertanyaannya adalah: Hitung rata-rata dan varians masa pakai mesin tersebut!
Jawab:
Untuk menyelesaikan soal nomor 1, kita akan menggunakan rumus rata- rata dan varians yang telah dipaparkan sebelumnya.
Rata- Rata Distribusi Gamma (dihitung dengan rumus nilai harapan (ekspektasi))
\mu =E\left ( Y \right )=\alpha \beta=3 .2=6
Selanjutnya untuk Varians Distribusi Gamma dapat dihitung yaitu
\begin{matrix}
Var\left ( Y \right )=\alpha \beta^2 \\
Var\left ( Y \right )=3.2^2\\
Var\left ( Y \right )=12\\
\end{matrix}Sehingga dapat disimpulkan bahwa rata-rata masa pakai mesin adalah 6 tahun, sedangkan varians masa pakai mesin adalah 12 tahun.
Referensi
Nah, sampai juga kita di akhir artikel. Sampai di sini dulu penjelasan terkait Distribusi Gamma Jika masih ada yang dibingungkan atau ada yang ingin didiskusikan, bisa langsung saja ramaikan kolom komentar atau hubungi admin melalui tombol bantuan di kanan bawah. Stay tuned di website https://exsight.id/blog/ agar tidak ketinggalan artikel-artikel menarik lainnya. See you!
