Halo halo sobat Exsight, dalam artikel kali ini, kita akan membahas suatu metode iterasi bernama Newton Raphson. Sobat Exsight pernah gak sih merasa bingung saat mencoba menyelesaikan suatu soal matematika yang rumit? Jika ya, sobat Exsight tidak sendirian! Kadang-kadang, solusi dari persoalan matematika khususnya berkaitan dengan persamaan non linier tidak bisa ditemukan dengan mudah menggunakan rumus-rumus yang telah dipelajari di kelas, maka dari itu diperlukan suatu metode numerik.
Metode numerik merupakan suatu metode alternatif yang digunakan untuk menyelesaikan persoalan-persoalan matematis selain metode analitik. Pemakaian metode numerik umumnya dilengkapi dengan suatu algoritma agar penyelesaian masalah dapat dilakukan secara sistematis dan logis sehingga diperoleh jawaban numerik yang efisien dan efektif dari berbagai macam permasalahan yang diselesaikan.
Salah satu metode numerik yang paling umum digunakan yaitu Iterasi Newton Raphson. Tanpa berlama-lama lagi, yuk simak artikel ini dengan seksama yaa!
Definisi
Metode Iterasi Newton-Raphson adalah suatu metode numerik yang digunakan untuk mendapatkan nilai solusi dari suatu persamaan nonlinear. Metode ini termasuk dalam metode pendekatan iteratif yang menggunakan nilai titik awal atau sebagai titik permulaan, kemudian dengan teknik ini, secara berulang dilakukan perhitungan untuk memperbaiki perkiraan solusi tersebut.
Iterasi Newton-Rhapson pertama kali dikembangkan oleh Isaac Newton dan Joseph Raphson. Metode ini memanfaatkan konsep turunan fungsi untuk mendapatkan perkiraan solusi hasil yang lebih baik dengan melakukan iterasi. Metode iterasi Newton Raphson digunakan dalam berbagai bidang ilmu, termasuk teknik, ilmu komputer, matematika, fisika, dan ekonomi, untuk menyelesaikan berbagai masalah nonlinear.
Konsep Dasar
Metode Iterasi Newton Raphson adalah salah satu algoritma yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Algoritma ini bekerja dengan cara memperbarui tebakan awal secara berulang hingga mendekati solusi yang diinginkan. Berikut adalah komponen-komponen utama dari algoritma ini:
A. Proses Konvergensi
Proses konvergensi terjadi saat iterasi dilakukan berulang kali dan solusi mendekati solusi yang sebenarnya. Dalam metode Newton-Raphson, proses konvergensi terjadi ketika nilai fungsi mendekati nol, atau ketika perubahan antara perkiraan solusi baru dan solusi sebelumnya menjadi sangat kecil.
B. Kriteria Penghentian Iterasi
Sebagai upaya untuk menghentikan proses iterasi, diperlukan kriteria penghentian yang memadai. Beberapa kriteria umum yang digunakan untuk menghentikan iterasi Newton Raphson antara lain:
– Perubahan relatif atau absolut antara dua perkiraan solusi berturut-turut kurang dari suatu ambang batas yang ditentukan.
– Jumlah iterasi mencapai batas yang ditentukan.
– Nilai fungsi mendekati nol secara memadai.
Galat dan Toleransi dalam Iterasi Numerik
Galat
Ketika metode numerik digunakan untuk menyelesaikan suatu masalah, kita awali dengan menetapkan sembarang nilai awal (initial value). Dengan nilai awal tersebut selanjutnya dilakukan langkah-langkah komputasi numerik sehingga diperoleh suatu penyelesaian yang diinginkan, baik berupa bilangan ataupun model hampiran. Semakin kecil kesalahan/galat yang ditimbulkan oleh penggunaan suatu rumus/formula maka semakin baik hampiran yang dihasilkan. Galat berdasarkan tipe dibedakan atas 2 jenis diantaranya:
A. Galat Inheren (Inherent Error)
Galat inheren merupakan galat bawaan akibat penggunaan suatu metode numerik. Akibat perhitungan numerik yang sebagian besar adalah tidak eksak, dapat menyebabkan data yang diperoleh adalah data aproksimasi. Selain itu, keterbatasan dari alat komputasi seperti tabel matematika, kalkulator, dan komputer digital juga membuat perhitungan numerik tidak eksak. Karena keterbatasan tersebut, bilangan-bilangan yang diperoleh adalah hasil pembulatan. Di dalam perhitungan, galat inheren dapat diperkecil melalui penggunaan data yang besar, pemeriksaan galat yang jelas dalam data, dan penggunaan alat komputasi dengan ketelitan yang tinggi.
B. Galat Pemotongan (Truncated Errror)
Galat ini disebabkan oleh adanya penghilangan sebarisan suku dari suatu deret/ekspansi untuk tujuan peringkasan pekerjaan perhitungan. Galat pemotongan adalah galat yang tak dapat dihindarkan dalam proses komputasi secara numerik.
Toleransi
Toleransi mengacu pada batasan atau tingkat kesalahan yang diterima atau diizinkan dalam proses iterasi. Toleransi (Tol) dapat pula didefinisikan sebagai batas penerimaan suatu galat. Toleransi ditentukan sebelumnya oleh pengguna atau pemodel dan biasanya diukur dalam bentuk nilai numerik, misalnya 0.001 atau 0.0001. Ini menunjukkan bahwa jika galat antara solusi iteratif dan solusi yang diinginkan kurang dari nilai toleransi yang ditentukan, maka iterasi dianggap sudah mencapai solusi yang memadai dan dapat dihentikan.
Tahapan- Tahapan Iterasi Newton Raphson
Secara sistematis, tahapan- tahapan dari iterasi Newton Raphson adalah sebagai berikut.
1. Inisialisasi
Langkah pertama adalah memilih nilai awal x0 sebagai tebakan awal. Tebakan ini harus dekat dengan solusi yang sebenarnya untuk memulai proses iterasi.
2. Perhitungan Fungsi
Hitung nilai fungsi f(xn) pada tebakan awal xn . Fungsi ini merupakan persamaan nonlinear yang ingin diselesaikan.
3. Perhitungan Turunan
Hitung nilai turunan pertama f”(xn) dari fungsi pada tebakan awal xn . Turunan pertama ini diperlukan dalam rumus iterasi Newton-Raphson.
4. Gunakan Rumus Iterasi Newton-Raphson
Gunakan rumus iterasi Newton-Raphson untuk menghitung perkiraan solusi berikutnya xn+1 berdasarkan nilai xn , f(xn) , dan f”(xn). Rumus iterasi Newton- Raphson adalah sebagai berikut.
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f\left ( x_{n} \right )}{f'\left ( x_{n} \right )}5. Perhitungan Galat
Hitung galat antara solusi iteratif baru xn+1 dengan solusi sebelumnya xn . Galat ini bisa dihitung sebagai selisih absolut atau relatif antara kedua solusi.
6. Pengecekan Konvergensi
Periksa apakah solusi iteratif sudah konvergen atau mendekati solusi yang diinginkan. Hal ini dapat dilakukan dengan memeriksa apakah nilai fungsi f(xn+1) mendekati nol atau apakah galat sudah lebih kecil dari nilai toleransi yang ditetapkan.
7. Iterasi Berulang
Jika solusi belum konvergen atau galat masih lebih besar dari toleransi, maka iterasi dilanjutkan dengan menggunakan nilai xn+1 sebagai tebakan baru dan kembali ke tahap 3 untuk menghitung solusi iteratif berikutnya.
8. Penghentian Iterasi
Iterasi dihentikan ketika solusi sudah konvergen atau galat sudah lebih kecil dari toleransi yang ditetapkan. Pada tahap ini, solusi iteratif dianggap sudah memadai dan dapat digunakan sebagai perkiraan solusi dari persamaan nonlinear yang sedang diselesaikan.
Kelebihan dan Keterbatasan Newton Raphson
Metide iterasi Newton Raphson memiliki beberapa kelebihan dan kelemahan diantaranya:
Kelebihan
A. Laju Konvergensi Tinggi
1. Metode ini cenderung konvergen dengan cepat menuju solusi.
2. Membutuhkan jumlah iterasi yang relatif sedikit untuk mencapai akurasi yang tinggi.
B. Efisiensi Penggunaan Turunan
1. Memanfaatkan informasi turunan pertama untuk percepatan konvergensi.
2. Mengurangi beban komputasi dibandingkan dengan metode iteratif tanpa turunan.
C. Aplikasi Luas
1. Cocok untuk penyelesaian sistem persamaan nonlinear.
2. Digunakan secara luas dalam bidang optimisasi dan analisis numerik.
Kelemahan
A. Sensitif terhadap Pemilihan Titik Awal
1. Kinerja metode sangat tergantung pada pemilihan titik awal yang baik.
2. Kesalahan dalam memilih titik awal dapat mengakibatkan ketidakkonvergenan.
B. Kesulitan pada Akar Ganda
1. Tidak selalu berhasil menangani akar ganda dengan baik.
2. Mungkin mengalami konvergensi ke salah satu akar atau bahkan tidak konvergen sama sekali.
C. Memerlukan Perhitungan Turunan
1. Bergantung pada perhitungan turunan pertama yang akurat.
2. Menyulitkan jika turunan tidak mudah dihitung atau tidak tersedia dalam bentuk tertutup.
D. Keterbatasan pada Fungsi Nonmulur
1. Tidak selalu konvergen pada fungsi yang memiliki singularitas atau tidak bersifat mulur.
2. Memerlukan pemahaman mendalam terhadap sifat-sifat fungsi.
Tutorial Iterasi Newton Raphson dengan R Studio
Studi Kasus
Misalkan kita memiliki fungsi f(x)=x2-3 dan kita ingin mencari akar persamaan f(x)=0. Kita dapat menggunakan metode iteratif untuk mendekati akar persamaan ini. Salah satu metode yang sederhana adalah metode Newton-Raphson.
Tahapan R Studio Iterasi Newton Raphson
* Load Library
Tahapan awal, sebelum melakukan running syntax di software R terlebih dahulu melakukan load library R. Adapun syntax R yang digunakan adalah sebagai berikut.
#Library
library(ggplot2)* Iterasi Newton Raphson
Iterasi Newton-Rhapson dilakukan menggunakan syntax R yaitu sebagai berikut (Sebagai catatan, dalam proses penulisan syntax juga melibatkan perhitungan nilai turunan fungsi, dimana hasil turunan dari f(x)=x2-3 yaitu sebesar f(x)=2x.
# Fungsi yang akan diiterasi
f <- function(x) {
return(x^2 - 3)
}
# Turunan pertama dari fungsi
f_prime <- function(x) {
return(2*x)
}
# Metode iterasi Newton-Raphson
newton_raphson <- function(x0, tol, max_iter) {
x <- x0
for (i in 1:max_iter) {
x_new <- x - f(x) / f_prime(x)
if (abs(x_new - x) < tol) {
break
}
x <- x_new
}
return(x)
}
# Nilai awal, toleransi, dan maksimum iterasi
x0 <- 2
tolerance <- 1e-6
max_iterations <- 100
# Memanggil fungsi iterasi Newton-Raphson
result <- newton_raphson(x0, tolerance, max_iterations)
# Menampilkan hasil
print(paste("Nilai akar yang dihitung: ", result))
Setelah dilakukan proses running, maka didapatkan hasil dari nilai akar yang dihitung yaitu sebesar 1.73205081001473.
Tahapan berikutnya yaitu melakukan visualisasi hasil iterasi Newton-Rhapson dengan menggunakan syntax R yaitu sebagai berikut.
x_values <- seq(-3, 3, 0.01)
y_values <- f(x_values)
plot_data <- data.frame(x = x_values, y = y_values)
ggplot(plot_data, aes(x, y)) +
geom_line() +
geom_hline(yintercept = 0, linetype="dashed", color = "red") +
geom_vline(xintercept = result, linetype="dashed", color = "blue") +
geom_point(aes(x = result, y = 0), color = "blue", size = 3) +
labs(title = "Iterasi Newton-Raphson",
x = "Nilai x",
y = "Nilai f(x)")
# Plot fungsi dan akar yang ditemukan
Berdasarkan hasil output software R berupa hasil perhitungan dan hasil visualisasi, diketahui bahwa dalam contoh ini, kita mencari akar persamaan f(x)=x2-3 menggunakan metode Newton-Raphson dengan nilai awal x0=2, toleransi 1×10−6, dan maksimum iterasi sebanyak 100 kali.
Sebagai catatan, dalam perhitungan kali ini, jumlah iterasi maksimum yang digunakan yaitu sebanyak 100 kali. Adapun penentuan jumlah iterasi dalam hal ini dapat menyesuaikan kebutuhan dari tiap penelitian. Pada penelitian ini, iterasi sebanyak 100 kali, diasumsikan telah menghasilkan hasil perhitungan yang konvergen, sehingga iterasi maksimum dilakukan sebanyak 100 kali.
Referensi
Finally, sampai sudah kita di penghujung artikel, sekian penjelasan terkait Iterasi Numerik Newton-Raphson. Apabila masih ada yang dibingungkan bisa langsung saja ramaikan kolom komentar atau hubungi admin melalui tombol bantuan di kanan bawah. Stay tuned di website https://exsight.id/blog/ agar tidak ketinggalan artikel-artikel menarik lainnya.
